Energy
education

сайт для тех, кто хочет изучать энергетику

Термодинамика и тепломассообмен

Идеальный газ

Идеальный газ

Идеальный газ - математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

1. Общие сведения. Уравнение состояния идеального газа

Для начала рассмотрим основные величины молекулярной физики и соотношения между ними.

$$m = \rho·V,$$

где $m$ - масса вещества, $V$ - объём вещества, $\rho$ - плотность вещества (масса единицы объёма).

$$m = m_0·N,$$

где $m_0$ - масса частицы вещества, $N$ - число частиц вещества (атомов или молекул).

Концентрация вещества $n$ (число частиц в единице объёма) рассчитывается по формуле, м−3:

$$n = \frac{N}{V}.$$

Произведение массы частицы $m_0$ на число частиц в единице объёма $n$ даст массу единицы объёма, т.е. плотность:

$$m_0·n = \frac{m_0·N}{V} = \frac{m}{V} = \rho.$$

Тогда:

$$m_0·n = \rho.$$

Массы и размеры частиц невообразимо малы по нашим обычным меркам. Например, масса атома водорода порядка $10^{−24}$ г, размер атома порядка $10^{−8}$ см. Из-за столь малых значений масс и размеров число частиц в макроскопическом теле огромно. Оперировать столь грандиозными числами, как число частиц, неудобно. Поэтому для измерения количества вещества используют специальную единицу - моль.

Один моль - это количество вещества, в котором содержится столько же атомов или молекул, сколько атомов содержится в $12$ граммах углерода. А в $12$ граммах углерода содержится примерно $6.02·10^{23}$ атомов. Стало быть, в одном моле вещества содержится примерно $6.02·10^{23}$ частиц. Это число называется постоянной Авогадро $N_A ≈ 6.02214129(27)·10^{23}$ моль−1.

Количество вещества обозначается $ν$. Это число молей данного вещества. Число молей, умноженное на число частиц в моле, даст общее число частиц:

$$N = ν·N_A.$$

Масса одного моля вещества называется молярной массой этого вещества $µ$ и рассчитывается по формуле, кг/моль:

$$m = µ·ν.$$

Как найти молярную массу химического элемента? Нужно просто взять атомную массу $A$ (число нуклонов) данного элемента - это будет его молярная масса, выраженная в г/моль. Например, для алюминия $A = 27$, поэтому молярная масса алюминия равна $27$ г/моль или $0.027$ кг/моль. Почему так получается? Молярная масса углерода равна $12$ г/моль по определению. В то же время ядро атома углерода содержит $12$ нуклонов. Выходит, что каждый нуклон вносит в молярную массу $1$ г/моль. Поэтому молярная масса химического элемента с атомной массой $A$ оказывается равной $A$ г/моль. Масса частицы, умноженная на число частиц в моле, даст массу моля, т.е. молярную массу:

$$µ = m_0·N_A.$$

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

  • размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними, так что суммарный объём, занимаемый молекулами, много меньше объёма сосуда;
  • импульс передается только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях;
  • суммарная энергия частиц газа постоянна, если отсутствует теплопередача и газ не совершает работы.

Таким образом, идеальный газ - это газ, частицы которого являются не взаимодействующими на расстоянии материальными точками и испытывают абсолютно упругие соударения друг с другом и со стенками сосуда.

Оказывается, что ключевую роль в описании идеального газа играет средняя кинетическая энергия его частиц. Частицы газа двигаются с разными скоростями. Пусть в газе содержится $N$ частиц, скорости которых равны $v_1, v_2, ... , v_N$. Масса каждой частицы равна $m_0$. Кинетические энергии частиц:

$$E_1 = \frac{m_0·v_1^2}{2}, E_2 = \frac{m_0·v_2^2}{2}, ..., E_N = \frac{m_0·v_N^2}{2}.$$

Средняя кинетическая энергия $E$ частиц газа - это среднее арифметическое их кинетических энергий:

$$E = \frac{E_1 + E_2 + ... + E_N}{N} = \frac{1}{N}·\left(\frac{m_0·v_1^2}{2}+\frac{m_0·v_2^2}{2}+...+\frac{m_0·v_N^2}{2}\right) = \frac{m_0}{2}·\frac{v_1^2+v_2^2+...+v_N^2}{N}.$$

Последний множитель - это средний квадрат скорости, обозначаемый просто $v^2$:

$$v^2 = \frac{v_1^2+v_2^2+...+v_N^2}{N}.$$

Тогда формула для средней кинетической энергии приобретает привычный вид:

$$E = \frac{m_0·v^2}{2}.$$

Корень из среднего квадрата скорости называется средней квадратической скоростью:

$$v = \sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2+...+v_N^2}{N}}.$$

Cвязь между давлением газа и средней кинетической энергией его частиц называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. По определению, давление молекул газа на стенку сосуда равно:

$$p=\frac{F}{S},$$

где $F$ — сила, действующая на стенку сосуда со стороны молекул, а $S$ — площадь стенки сосуда. При условии, что давление постоянно в течение времени $\Delta \tau$, получаем:

$$p=\frac{K}{S·\Delta \tau},$$

где $K$ — импульс, передаваемый молекулами стенкам сосуда. Если принять, что модуль импульса не меняется при соударении, получим, что каждая молекула передаёт импульс, равный $2·m·v·\cos{\vartheta}$, где $\vartheta$ — угол между импульсом молекулы до соударения и нормалью со стенкой.

Проинтегрировав последнее выражение по всем возможным углам и скоростям, получаем:

$$K=\frac{2}{3}·n·E·S·\Delta \tau.$$

где $E$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, n - концентрация газа (число частиц в единице объёма). Тогда давление молекул газа на стенку сосуда определяется по формуле:

$$p=\frac{2}{3}·n·E$$

или раскрыв среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа

$$p = \frac{1}{3}·m_0·n·v^2.$$

Произведение массы частицы $m_0$ на число частиц в единице объёма $n$ даёт массу единицы объёма, то есть плотность. Получаем третью разновидность основного уравнения:

$$p = \frac{1}{3}·\rho·v^2.$$

Можно показать, что при установлении теплового равновесия между двумя газами выравниваются средние кинетические энергии их частиц. Но мы знаем, что при этом становятся равны и температуры газов. Следовательно, температура газа - это мера средней кинетической энергии его частиц. Собственно, ничто не мешает попросту отождествить эти величины и сказать, что температура газа - это средняя кинетическая энергия его молекул. Определённая таким образом температура измеряется в энергетических единицах - джоулях. Но для практических задач удобнее иметь дело с привычными кельвинами. Связь средней кинетической энергии частиц и абсолютной температуры газа даётся формулой:

$$E = \frac{3}{2}·k·T.$$

где $k ≈ 1.38064852(79)·10^{−23}$ Дж/К - постоянная Больцмана, полученная экспериментально.

Из данной формулы можно получить выражение для средней квадратической скорости частиц.

$$\frac{m_0·v^2}{2} = \frac{3}{2}·k·T,$$

откуда

$$v = \sqrt{\frac{3·k·T}{m_0}}.$$

В эту формулу входит масса частицы $m_0$, которую ещё надо вычислить. Но можно получить более удобный вариант формулы, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на число Авогадро $N_A$:

$$v = \sqrt{\frac{3·k·N_A·T}{m_0·N_A}}.$$

В знаменателе имеем: $m_0·N_A = µ$ - молярная масса газа. В числителе стоит произведение двух констант, которое также является константой, Дж/моль·К:

$$R_0 = k·N_A ≈ 8.3144598(48).$$

Константа $R_0$ называется универсальной газовой постоянной. Универсальная газовая постоянная — термин, впервые введённый в употребление Д. Менделеевым в 1874 г. Численно равна работе расширения одного моля идеального одноатомного газа в изобарном процессе при увеличении температуры на $1$ К. Этот закон представляет собой то, что в физике принято называть уравнением состояния вещества, поскольку он описывает характер изменения свойств вещества при изменении внешних условий. Строго говоря, этот закон в точности выполняется только для идеального газа.

Теперь формула для средней квадратической скорости приобретает вид:

$$v = \sqrt{\frac{3·R_0·T}{\mu}}.$$

Такое выражение гораздо более удобно для практических вычислений.

Если взять формулу

$$p=\frac{2}{3}·n·E$$

и подставить в неё

$$E = \frac{3}{2}·k·T.$$

Получаем:

$$p = n·k·T.$$

Вспомним теперь, что $n = \frac{N}{V}$ и $N = ν·N_A$, где $ν$ - число молей газа:

$$p = \frac{N}{V}·k·T = \frac{ν·N_A}{V}·k·T = \frac{ν·R_0·T}{V},$$

откуда

$$p·\frac{V}{m} = \frac{R_0}{\mu}·T$$

где $p$ — давление, Па; $V$ - объем газа, м3; $T$ — абсолютная температура, K; $R_0$ — универсальная газовая постоянная Дж/(моль·K); $m$ — масса газа, кг; $\mu$ — его молярная масса, кг/кмоль.

Или в упрощенной форме:

$$p·v = R·T.$$

где $v = \frac{V}{m}$ - удельный объем газа, м3/кг; $R = \frac{R_0}{\mu}$ - газовая постоянная Дж/(кг·K).

Соотношение называется уравнением Менделеева - Клапейрона. Оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа давления, удельного объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева - Клапейрона называется уравнением состояния идеального газа.

Идеальный газ представляет собой упрощенную математическую модель реального газа: молекулы считаются движущимися хаотически, а соударения между молекулами и удары молекул о стенки сосуда — упругими, то есть не приводящими к потерям энергии в системе. Такая упрощенная модель очень удобна, поскольку позволяет обойти очень неприятную трудность — необходимость учитывать силы взаимодействия между молекулами газа. И это себя оправдывает, поскольку в природных условиях поведение большинства реальных газов практически не отличается от поведения идеального газа — отклонения в поведении практически всех природных газов, например атмосферного азота и кислорода, от поведения идеального газа не превышают 1%. Это позволяет ученым спокойно включать уравнение состояния идеального газа даже в весьма сложные теоретические расчеты.