Energy
education

сайт для тех, кто хочет изучать энергетику

Термодинамика и тепломассообмен

Идеальный газ

Идеальный газ

Идеальный газ - математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

1. Общие сведения. Уравнение состояния идеального газа

Рабочим телом называют вспомогательное вещество, используемое для работы той или иной тепловой машины (теплового двигателя, холодильной установки, теплового насоса). В подавляющем большинстве случаев рабочее тело является газообразным веществом.

Рабочие газообразные тела обычно делят на идеальные и реальные газы. Под идеальным газом понимают воображаемый газ, в котором отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия, а сами молекулы имеют пренебрежимо малый объем. Реальный газ состоит из молекул, объемом которых пренебречь нельзя и между молекулами существуют силы взаимодействия. Одно и то же рабочее тело относят к идеальному газу или реальному в зависимости от термодинамического состояния, в котором оно находится.

Термодинамическое состояние газообразного вещества характеризуется тремя основными параметрами: абсолютное давление, удельный объем и температура. Для измерения давления используют барометры, манометры и вакуумметры различных типов. С помощью барометров измеряют атмосферное давление. Манометры используют для измерения разности давлений в резервуаре (установке) и атмосферным в том случае, если это давление больше атмосферного. В противном случае используются вакуумметры.

Абсолютное давление подсчитывают по формулам:

$$p_{абс}= p_{ман}+p_{бар},$$ $$p_{абс}= p_{бар}–p_{вак}.$$

В этих формулах $p_{абс}$, $p_{ман}$, $p_{бар}$, $p_{вак}$ – соответственно, абсолютное, манометрическое, барометрическое давление и давление вакуумметра.

Удельный объем вещества представляет собой объем, занимаемый единицей массы этого вещества.

$$υ =V/m$$

где $υ$ – удельный объем, м3/кг; $V$ – объем тела, м3; $m$ – масса тела, кг.

При измерении температуры пользуются термометрами различных типов и двумя основными температурными шкалами: шкалой Цельсия и абсолютной (шкалой Кельвина).

Для сравнения различных газов между собой по объему их приводят к так называемым нормальным физическим условиям (НФУ), характеризующимся давлением $p_н= 760$ мм рт. ст. ($0.1013$ МПа) и температурой $t_н= 0$ °С ($273.15$ К).

Основные параметры газа связаны между собой функциональной зависимостью, называемой уравнением состояния:

$$F (p,υ,T) = 0.$$

Далее рассмотрим основные величины молекулярной физики и соотношения между ними.

$$m = \rho·V,$$

где $m$ - масса вещества, $V$ - объём вещества, $\rho$ - плотность вещества (масса единицы объёма). В свою очередь:

$$m = m_0·N,$$

где $m_0$ - масса частицы вещества, $N$ - число частиц вещества (атомов или молекул).

Концентрация вещества $n$ (число частиц в единице объёма) рассчитывается по формуле, м−3:

$$n = \frac{N}{V}.$$

Произведение массы частицы $m_0$ на число частиц в единице объёма $n$ даст массу единицы объёма, т.е. плотность:

$$m_0·n = \frac{m_0·N}{V} = \frac{m}{V} = \rho.$$

Тогда:

$$m_0·n = \rho.$$

Массы и размеры частиц невообразимо малы по нашим обычным меркам. Например, масса атома водорода порядка $10^{−24}$ г, размер атома порядка $10^{−8}$ см. Из-за столь малых значений масс и размеров число частиц в макроскопическом теле огромно. Оперировать столь грандиозными числами, как число частиц, неудобно. Поэтому для измерения количества вещества используют специальную единицу - моль.

Один моль - это количество вещества, в котором содержится столько же атомов или молекул, сколько атомов содержится в $12$ граммах углерода. А в $12$ граммах углерода содержится примерно $6.02·10^{23}$ атомов. Стало быть, в одном моле вещества содержится примерно $6.02·10^{23}$ частиц. Это число называется постоянной Авогадро $N_A ≈ 6.02214129(27)·10^{23}$ моль−1.

Количество вещества обозначается $ν$. Это число молей данного вещества. Число молей, умноженное на число частиц в моле, даст общее число частиц:

$$N = ν·N_A.$$

Масса одного моля вещества называется молярной массой этого вещества $µ$ и рассчитывается по формуле, кг/моль:

$$m = µ·ν.$$

Как найти молярную массу химического элемента? Нужно просто взять атомную массу $A$ (число нуклонов) данного элемента - это будет его молярная масса, выраженная в г/моль. Например, для алюминия $A = 27$, поэтому молярная масса алюминия равна $27$ г/моль или $0.027$ кг/моль. Почему так получается? Молярная масса углерода равна $12$ г/моль по определению. В то же время ядро атома углерода содержит $12$ нуклонов. Выходит, что каждый нуклон вносит в молярную массу $1$ г/моль. Поэтому молярная масса химического элемента с атомной массой $A$ оказывается равной $A$ г/моль. Масса частицы, умноженная на число частиц в моле, даст массу моля, т.е. молярную массу:

$$µ = m_0·N_A.$$

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

  • размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними, так что суммарный объём, занимаемый молекулами, много меньше объёма сосуда;
  • импульс передается только при соударениях, то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях;
  • суммарная энергия частиц газа постоянна, если отсутствует теплопередача и газ не совершает работы.

Таким образом, идеальный газ - это газ, частицы которого являются не взаимодействующими на расстоянии материальными точками и испытывают абсолютно упругие соударения друг с другом и со стенками сосуда.

Оказывается, что ключевую роль в описании идеального газа играет средняя кинетическая энергия его частиц. Частицы газа двигаются с разными скоростями. Пусть в газе содержится $N$ частиц, скорости которых равны $v_1, v_2, ... , v_N$. Масса каждой частицы равна $m_0$. Кинетические энергии частиц:

$$E_1 = \frac{m_0·v_1^2}{2}, E_2 = \frac{m_0·v_2^2}{2}, ..., E_N = \frac{m_0·v_N^2}{2}.$$

Средняя кинетическая энергия $E$ частиц газа - это среднее арифметическое их кинетических энергий:

$$E = \frac{E_1 + E_2 + ... + E_N}{N} = \frac{1}{N}·\left(\frac{m_0·v_1^2}{2}+\frac{m_0·v_2^2}{2}+...+\frac{m_0·v_N^2}{2}\right) = \frac{m_0}{2}·\frac{v_1^2+v_2^2+...+v_N^2}{N}.$$

Последний множитель - это средний квадрат скорости, обозначаемый просто $v^2$:

$$v^2 = \frac{v_1^2+v_2^2+...+v_N^2}{N}.$$

Тогда формула для средней кинетической энергии приобретает привычный вид:

$$E = \frac{m_0·v^2}{2}.$$

Корень из среднего квадрата скорости называется средней квадратической скоростью:

$$v = \sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2+...+v_N^2}{N}}.$$

Cвязь между давлением газа и средней кинетической энергией его частиц называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. По определению, давление молекул газа на стенку сосуда равно:

$$p=\frac{F}{S},$$

где $F$ — сила, действующая на стенку сосуда со стороны молекул, а $S$ — площадь стенки сосуда. При условии, что давление постоянно в течение времени $\Delta \tau$, получаем:

$$p=\frac{K}{S·\Delta \tau},$$

где $K$ — импульс, передаваемый молекулами стенкам сосуда. Если принять, что модуль импульса не меняется при соударении, получим, что каждая молекула передаёт импульс, равный $2·m·v·\cos{\vartheta}$, где $\vartheta$ — угол между импульсом молекулы до соударения и нормалью со стенкой.

Проинтегрировав последнее выражение по всем возможным углам и скоростям, получаем:

$$K=\frac{2}{3}·n·E·S·\Delta \tau.$$

где $E$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, n - концентрация газа (число частиц в единице объёма). Тогда давление молекул газа на стенку сосуда определяется по формуле:

$$p=\frac{2}{3}·n·E$$

или раскрыв среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа

$$p = \frac{1}{3}·m_0·n·v^2.$$

Произведение массы частицы $m_0$ на число частиц в единице объёма $n$ даёт массу единицы объёма, то есть плотность. Получаем третью разновидность основного уравнения:

$$p = \frac{1}{3}·\rho·v^2.$$

Можно показать, что при установлении теплового равновесия между двумя газами выравниваются средние кинетические энергии их частиц. Но мы знаем, что при этом становятся равны и температуры газов. Следовательно, температура газа - это мера средней кинетической энергии его частиц. Собственно, ничто не мешает попросту отождествить эти величины и сказать, что температура газа - это средняя кинетическая энергия его молекул. Определённая таким образом температура измеряется в энергетических единицах - джоулях. Но для практических задач удобнее иметь дело с привычными кельвинами. Связь средней кинетической энергии частиц и абсолютной температуры газа даётся формулой:

$$E = \frac{3}{2}·k·T.$$

где $k ≈ 1.38064852(79)·10^{−23}$ Дж/К - постоянная Больцмана, полученная экспериментально.

Из данной формулы можно получить выражение для средней квадратической скорости частиц.

$$\frac{m_0·v^2}{2} = \frac{3}{2}·k·T,$$

откуда

$$v = \sqrt{\frac{3·k·T}{m_0}}.$$

В эту формулу входит масса частицы $m_0$, которую ещё надо вычислить. Но можно получить более удобный вариант формулы, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на число Авогадро $N_A$:

$$v = \sqrt{\frac{3·k·N_A·T}{m_0·N_A}}.$$

В знаменателе имеем: $m_0·N_A = µ$ - молярная масса газа. В числителе стоит произведение двух констант, которое также является константой, Дж/моль·К:

$$\mu R = k·N_A ≈ 8.3144598(48).$$

Константа $\mu R$ называется универсальной газовой постоянной. Универсальная газовая постоянная — термин, впервые введённый в употребление Д. Менделеевым в 1874 г. Численно равна работе расширения одного моля идеального одноатомного газа в изобарном процессе при увеличении температуры на $1$ К. Этот закон представляет собой то, что в физике принято называть уравнением состояния вещества, поскольку он описывает характер изменения свойств вещества при изменении внешних условий. Строго говоря, этот закон в точности выполняется только для идеального газа.

Теперь формула для средней квадратической скорости приобретает вид:

$$v = \sqrt{\frac{3·\mu R·T}{\mu}}.$$

Такое выражение гораздо более удобно для практических вычислений.

Если взять формулу

$$p=\frac{2}{3}·n·E$$

и подставить в неё

$$E = \frac{3}{2}·k·T.$$

Получаем:

$$p = n·k·T.$$

Вспомним теперь, что $n = \frac{N}{V}$ и $N = ν·N_A$, где $ν$ - число молей газа:

$$p = \frac{N}{V}·k·T = \frac{ν·N_A}{V}·k·T = \frac{ν·R_0·T}{V},$$

откуда

$$p·\frac{V}{m} = \frac{\mu R}{\mu}·T$$

где $p$ — давление, Па; $V$ - объем газа, м3; $T$ — абсолютная температура, K; $\mu R$ — универсальная газовая постоянная Дж/(моль·K); $m$ — масса газа, кг; $\mu$ — его молярная масса, кг/кмоль.

Или в упрощенной форме:

$$p·v = R·T.$$

где $v = \frac{V}{m}$ - удельный объем газа, м3/кг; $R = \frac{\mu R}{\mu}$ - газовая постоянная Дж/(кг·K).

Соотношение называется уравнением Менделеева - Клапейрона. Оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа давления, удельного объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева - Клапейрона называется уравнением состояния идеального газа.

Идеальный газ представляет собой упрощенную математическую модель реального газа: молекулы считаются движущимися хаотически, а соударения между молекулами и удары молекул о стенки сосуда — упругими, то есть не приводящими к потерям энергии в системе. Такая упрощенная модель очень удобна, поскольку позволяет обойти очень неприятную трудность — необходимость учитывать силы взаимодействия между молекулами газа. И это себя оправдывает, поскольку в природных условиях поведение большинства реальных газов практически не отличается от поведения идеального газа — отклонения в поведении практически всех природных газов, например атмосферного азота и кислорода, от поведения идеального газа не превышают 1%. Это позволяет ученым спокойно включать уравнение состояния идеального газа даже в весьма сложные теоретические расчеты.