Energy
education

сайт для тех, кто хочет изучать энергетику

Термодинамика и тепломассообмен

Идеальный газ

Основные законы термодинамики

Современная феноменологическая термодинамика является строгой теорией, развиваемой на основе нескольких постулатов. Процессы, происходящие в термодинамических системах, описываются макроскопическими величинами (температура, давление, концентрации компонентов), которые вводятся для описания систем, состоящих из большого числа частиц, и не применимы к отдельным молекулам и атомам, в отличие, например, от величин, вводимых в механике или электродинамике.

2. Основные законы термодинамики

В технической термодинамике используются три основные функции состояния: удельная внутренняя энергия $u$, удельная энтальпия $h$ и удельная энтропия $s$. Эти функции зависят только от состояния рабочего тела, их изменение в ходе термодинамического процесса не зависит от хода процесса.

Удельная внутренняя энергия – функция состояния закрытой термодинамической системы, определяемая тем, что ее приращение в любом процессе, происходящем в этой системе, равно сумме теплоты, сообщенной системе, и работы, совершенной над ней.

Если рабочее тело – идеальный газ, то внутренняя энергия зависит только от температуры.

$$\mathrm{d}u=c_v \mathrm{d}T.$$

Тогда для процесса идеального газа изменение внутренней энергии равно:

$$∆u=\intop_{T_1}^{T_2} c_v \mathrm{d}T.$$

Условно принимают, что при нормальных условиях ($t=0$ °C) внутренняя энергия равна $0$, тогда в данном состоянии, характеризуемом температурой $t$, внутренняя энергия равна:

$$u =\intop_{273.15 K}^T c_v \mathrm{d}T.$$

Удельная работа изменения объема совершается при любом изменении объема неподвижного газа. Эта работа обозначается $l$ (Дж/кг, кДж/кг). При элементарном изменении объема $1$ кг газа соответствующая элементарная работа равна:

$$\mathrm{d}l=p\mathrm{d}v.$$

Для термодинамического процесса, в котором объем $1$ кг рабочего тела изменяется от $v_1$ до $v_2$, работа изменения объема равна:

$$l=\intop_{v_1}^{v_2} p\mathrm{d}v.$$

Для нахождения удельной работы изменения объема по выражению выше надо знать функциональную связь между $p$ и $v$ в ходе процесса. Для анализа работы рабочего тела удобно пользоваться диаграммой $p-v$.

Первый закон термодинамики представляет собой закон сохранения энергии, примененный к процессам, протекающим в термодинамических системах. Этот закон можно сформулировать так: энергия изолированной термодинамической системы остается неизменной независимо от того, какие процессы в ней протекают. Для незамкнутого термодинамического процесса, протекающего в простейшей изолированной системе, состоящей из источника теплоты, рабочего тела и объекта работы, уравнение баланса энергии примет вид:

$$\mathrm{d}q=\mathrm{d}u+\mathrm{d}l.$$

или

$$\mathrm{d}q=\mathrm{d}u+p\mathrm{d}v.$$

Последнее выражение можно видоизменить, введя в него энтальпию и техническую работу:

$$\mathrm{d}q=\mathrm{d}u+\mathrm{d}(pv)-vd\mathrm{d}=\mathrm{d}(u+pv)-vd\mathrm{d}=\mathrm{d}h+\mathrm{d}l'.$$

Удельная энтальпия – функция состояния термодинамической системы, равная сумме внутренней энергии и произведения удельного объема на давление:

$$h = u + p·v.$$

Энтальпия идеального газа зависит только от температуры. Изменение энтальпии в процессе идеального газа подсчитывается по формуле:

$$∆h=\intop_{T_1}^{T_2} c_p \mathrm{d}T.$$

Поскольку энтальпия при нормальных условиях принимается равной нулю, то энтальпия рабочего тела в данном состоянии равна:

$$h =\intop_{273.15 K}^T c_p \mathrm{d}T.$$

Удельная техническая работа совершается потоком движущегося газа за счет изменения кинетической энергии газа. Эта работа обозначается и $l'$ (Дж/кг, кДж/кг). Элементарная техническая работа равна:

$$\mathrm{d}l'=-v\mathrm{d}p.$$

Для термодинамического процесса удельная техническая работа $1$ кг рабочего тела равна:

$$l'=-\intop_{p_1}^{p_2} v \mathrm{d}p.$$

Второй закон термодинамики определяет напавление, в котором протекают процессы, устанавливает условия преобразования тепловой энергии в механическую, а также определяет максимальное значение работы, которое может быть произведена тепловым двигателем.

Второй закон термодинамики математически может быть выражен следующим образом:

$$\mathrm{d}s≥\frac{\mathrm{d}q}{T}.$$

Знак неравенства соответствует необратимым процессам, а знак равенства – обратимым. Следовательно, аналитическое выражение второго закона термодинамики для бесконечно малого обратимого процесса имеет вид:

$$\mathrm{d}q=T\mathrm{d}s.$$

Тогда согласно первому закону термодинамики:

$$T\mathrm{d}s=\mathrm{d}u+p\mathrm{d}v.$$

Удельная энтропия – функция состояния термодинамической системы, определяемая тем, что ее дифференциал $\mathrm{d}s$ при элементарном равновесном (обратимом) процессе равен отношению бесконечно малого количества теплоты $\mathrm{d}q$, сообщенной системе, к термодинамической температуре $T$ системы:

$$\mathrm{d}s=\frac{\mathrm{d}q}{T}.$$

Изменения удельной энтропии между двумя произвольными состояниями газа определяют по следующим формулам:

$$\mathrm{d}s=\frac{\mathrm{d}u}{T}+\frac{\mathrm{d}l}{T}=\frac{\mathrm{d}u}{T}+\frac{p\mathrm{d}v}{T}=\frac{\mathrm{d}u}{T}+\frac{R\mathrm{d}v}{v}.$$ $$∆s=\intop_{T_1}^{T_2} \frac{c_v}{T} \mathrm{d}T + \intop_{v_1}^{v_2} \frac{R}{v} \mathrm{d}v.$$

или

$$\mathrm{d}s=\frac{\mathrm{d}h}{T}+\frac{\mathrm{d}l'}{T}=\frac{\mathrm{d}h}{T}+\frac{-v\mathrm{d}p}{T}=\frac{\mathrm{d}h}{T}-\frac{R\mathrm{d}p}{p}.$$ $$∆s=\intop_{T_1}^{T_2} \frac{c_p}{T} \mathrm{d}T-\intop_{p_1}^{p_2} \frac{R}{p} \mathrm{d}p.$$

Поскольку в технической термодинамике приходится иметь дело не с абсолютными значениями энтропии, а с ее изменением, отсчет значений энтропии можно вести от любого состояния. Для газов принято считать значение энтропии равным нулю при нормальных условиях, тогда значение энтропии отсчитанного от нормального состояния можно определить по формулам:

$$s=\intop_{273.15 K}^T \frac{c_v}{T}·\mathrm{d}T+\intop_{v_н}^v \frac{R}{v} \mathrm{d}v.$$

или

$$s=\intop_{273.15 K}^T \frac{c_p}{T}·\mathrm{d}T-\intop_{p_н}^p \frac{R}{p} \mathrm{d}p.$$

Максимальная полезная работа, которую может произвести система – это часть максимальной работы за вычетом работы, затрачиваемой на сжатие окружающей среды:

$$l_{max}=l-l_0.$$

Предположим далее, что температура $T_0$ и давление $p_0$ окружающей среды неизменны или, во всяком случае, не зависят от того, сообщается ли теплота среде или забирается у нее. Поскольку в общем случае $p≠p_0$ и $T≠T_0$, то рассматриваемая изолированная система неравновесна и, следовательно, способна произвести работу.

Учитывая первый закон термодинамики, можно написать выражение для максимальной полезной работы изолированной системы:

$$l_{max}=(u-u_0 )+p_0·(v-v_0 )-T_0·(s-s_0 ).$$

Как видно из этого соотношения, максимальная полезная работа системы однозначно определяется начальными параметрами источника работы и параметрами окружающей среды.

Эксергия. Максимальную полезную работу (работоспособность) в современной термодинамике принято называть эксергией. В данном случае величина $l_{max}$ – это эксергия источника работы.