Энергетическое образование

Контрольные задания №1. Задание 8

Металлический слиток, имеющий форму параллелепипеда, с размерами $a×b×c$, где $a = 350$ мм,$b = 1.5·a$ и $c = 2·a$, имел начальную температуру $t_0 = 25$ °C, а затем был помещен в печь с температурой $t_ж = 1000$ °C. Определить температуры в центре слитка $t_ц$ и его вершинах $t_в$ через $\tau = 5$ минут после его загрузки в печь, температуры в центрах всех граней $t_{ab}$, $t_{bc}$, $t_{ac}$ и количество теплоты, сообщенное слитку за это время. Коэффициент теплопроводности металла $\lambda = 10$ Вт/м·К, плотность $\rho = 9000$ кг/м³, теплоемкость $c_p = 360$ Дж/кг·К, коэффициент теплоотдачи на поверхности слитка $\alpha = 25$ Вт/м²·К.

Решение:

Найдем размеры параллелепипеда, м:

$$b = 1.5·a = 1.5·0.35 = 0.525$$

$$c = 2·a = 2·0.35 = 0.7.$$

Коэффициент температуропроводности, м²/с:

$$a = \frac{\lambda}{c_p·\rho} = \frac{10}{360·9000} = 3.1·10^{-6}.$$

Для нахождения температур в параллелепипеде воспользуемся теоремой о перемножении решений:

$$\theta = \theta_x·\theta_y·\theta_z.$$

Для оси х.

Число Био:

$$Bi = \frac{\frac{a}{2·\lambda}}{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\frac{0.35}{2·10}}{\frac{1}{25}} = 0.438.$$

Числа подобия по таблице в зависимости от числа Био: $\mu_1=0.617$, $\mu_2=3.274$, $A_1=1.063$, $A_2=-0.078$.

Число Фурье:

$$Fo = \frac{a·\tau}{\left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{3.1·10^{-6}·300}{\left(\frac{0.35}{2}\right)^2} = 0.03.$$

Для расчета используется два члена ряда:

$$\theta(X) = A_1·\cos{(\mu_1·X)}·\exp{(-\mu_1^2·Fo)} + A_2·\cos{(\mu_2·X)}·\exp{(-\mu_2^2·Fo)}.$$

В центре пластины безразмерная координата равна $X=0$, тогда безразмерная температура равна:

$$\theta(X=0) = 1.063·\exp{(-0.617^2·0.03)} + (-0.078)·\exp{(-3.27^2·0.03)} = 0.994.$$

На поверхности пластины безразмерная координата равна $X=1$, тогда безразмерная температура равна:

$$\theta(X=1) = 1.063·\cos{(0.617·1)}·\exp{(-0.617^2·0.03)} + (-0.078)·\cos{(3.27·1)}·\exp{(-3.27^2·0.03)} = 0.913.$$

Для оси y

Число Био:

$$Bi = \frac{\frac{b}{2·\lambda}}{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\frac{0.525}{2·10}}{\frac{1}{25}} = 0.656.$$

Числа подобия по таблице в зависимости от числа Био: $\mu_1=0.75$, $\mu_2=3.34$, $A_1=1.09$, $A_2=-0.11$.

Число Фурье:

$$Fo = \frac{a·\tau}{\left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{3.1·10^{-6}·300}{\left(\frac{0.525}{2}\right)^2} = 0.013.$$

Для расчета используется два члена ряда:

$$\theta(Y) = A_1·\cos{(\mu_1·Y)}·\exp{(-\mu_1^2·Fo)} + A_2·\cos{(\mu_2·Y)}·\exp{(-\mu_2^2·Fo)}.$$

В центре пластины безразмерная координата равна $Y=0$, тогда безразмерная температура равна:

$$\theta(Y=0) = 1.09·\exp{(-0.75^2·0.013)} + (-0.11)·\exp{(-3.34^2·0.013)} = 0.985.$$

На поверхности пластины безразмерная координата равна $Y=1$, тогда безразмерная температура равна:

$$\theta(Y=1) = 1.09·\cos{(0.75·1)}·\exp{(-0.75^2·0.013)} + (-0.11)·\cos{(3.34·1)}·\exp{(-3.34^2·0.013)} = 0.896.$$

Для оси z

Число Био:

$$Bi = \frac{\frac{c}{2·\lambda}}{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\frac{0.7}{2·10}}{\frac{1}{25}} = 0.875.$$

Числа подобия по таблице в зависимости от числа Био: $\mu_1=0.82$, $\mu_2=3.40$, $A_1=1.11$, $A_2=-0.14$.

Число Фурье:

$$Fo = \frac{a·\tau}{\left(\frac{c}{2}\right)^2} = \frac{3.1·10^{-6}·300}{\left(\frac{0.7}{2}\right)^2} = 0.008.$$

Для расчета используется два члена ряда:

$$\theta(Z) = A_1·\cos{(\mu_1·Z)}·\exp{(-\mu_1^2·Fo)} + A_2·\cos{(\mu_2·Z)}·\exp{(-\mu_2^2·Fo)}.$$

В центре пластины безразмерная координата равна $Z=0$, тогда безразмерная температура равна:

$$\theta(Z=0) = 1.11·\exp{(-0.82^2·0.008)} + (-0.14)·\exp{(-3.40^2·0.008)} = 0.977.$$

На поверхности пластины безразмерная координата равна $Z=1$, тогда безразмерная температура равна:

$$\theta(Z=1) = 1.11·\cos{(0.82·1)}·\exp{(-0.82^2·0.008)} + (-0.14)·\cos{(3.40·1)}·\exp{(-3.40^2·0.008)} = 0.875.$$

Находим безразмерную температуру центра:

$$\theta_ц = \theta(X=0)·\theta(Y=0)·\theta(Z=0) = 0.994·0.985·0.977 = 0.957.$$

Находим температуру центра, °C:

$$t_ц=\theta_ц·(t_0-t_ж)+t_ж = 0.957·(25-1000)+1000 = 67.$$

Находим безразмерную температуру угла:

$$\theta_в = \theta(X=1)·\theta(Y=1)·\theta(Z=1) = 0.913·0.896·0.875 = 0.716.$$

Находим температуру угла, °C:

$$t_в=\theta_в·(t_0-t_ж)+t_ж = 0.716·(25-1000)+1000 = 302.$$

Находим безразмерную температуру всех граней:

$$\theta_{ab} = \theta(X=0)·\theta(Y=0)·\theta(Z=1) = 0.994·0.985·0.875 = 0.857.$$ $$\theta_{bc} = \theta(X=1)·\theta(Y=0)·\theta(Z=0) = 0.913·0.985·0.977 = 0.879.$$ $$\theta_{ac} = \theta(X=0)·\theta(Y=1)·\theta(Z=0) = 0.994·0.896·0.977 = 0.870.$$

Находим температуру всех граней, °C:

$$t_{ab}=\theta_{ab}·(t_0-t_ж)+t_ж = 0.857·(25-1000)+1000 = 163.$$ $$t_{bc}=\theta_{bc}·(t_0-t_ж)+t_ж = 0.879·(25-1000)+1000 = 143.$$ $$t_{ac}=\theta_{ac}·(t_0-t_ж)+t_ж = 0.870·(25-1000)+1000 = 151.$$

Средняя безразмерная температура в слитке:

$$\overline{\theta} = \int_0^1\theta_X\partial X·\int_0^1\theta_Y\partial Y·\int_0^1\theta_Z\partial Z = 0.987·0.991·0.993 = 0.972.$$

Средняя температура в слитке, °C:

$$\overline{t}=\overline{\theta}·(t_0-t_ж)+t_ж = 0.972·(25-1000)+1000 = 52.$$

Количество теплоты, сообщенное слитку, МДж:

$$Q = a·b·c·\rho·c_p·(\overline{t}-t_0) = 0.35·0.525·0.7·9000·360·(52-25) = 11.$$