Электронагреватель имеющий форму цилиндра диаметром $d = 55$ мм и длиной $l = 1.4$ м, расположен горизонтально и потребляет мощность $N = 2$ кВт. Степень черноты поверхности нагревателя $\varepsilon = 0.9$, температура окружающего воздуха $t_{возд} = 20$ °С. Определить температуру поверхности нагревателя.
Cоставим тепловой баланс:
$$N=Q_т+Q_и.$$Теплота, отданная нагревателем с помощью излучения:
$$Q_и = \varepsilon_{пр}·5.685·\left(\left(\frac{T_c}{100}\right)^4-\left(\frac{T_в}{100}\right)^4\right)·\pi·d·l =$$ $$= 0.9·5.685·\left(\left(\frac{T_c}{100}\right)^4-\left(\frac{20+273.15}{100}\right)^4\right)·\pi·0.055·1.4 = 1.238·\left(\left(\frac{T_c}{100}\right)^4-74.831\right).$$Приведенный коэффициент черноты поверхности находится:
$$\varepsilon_{пр} = \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}+\frac{F_{нагр}}{F_{возд}}·\left(\frac{1}{\varepsilon_{возд}}+1\right)} = \frac{1}{\frac{1}{0.9}+\frac{\pi·0.055·1.4}{\infty}·\left(\frac{1}{\varepsilon_{возд}}+1\right)} = 0.9.$$Свойства воздуха берем по таблице:
| $t$, °C | $\lambda$, Вт/м·К | $\nu$, м2/с | $Pr$ |
|---|---|---|---|
| $20$ | $0.0259$ | $15.06·10^{-6}$ | $0.7$ |
Число Грасгофа:
$$Gr = \frac{g·\beta·(t_c - t_в)·d^3}{\nu^2} = \frac{g·\frac{1}{20+273.15}·(t_c - 273.15)·0.055^3}{(15.06·10^{-6})^2} = 2.453·10^4·(t_c-293.15).$$Число Нуссельта:
$$Nu = 0.5·(Gr·Pr)^{0.25} = 0.5·(2.453·10^4·(t_c-293.15)·0.7)^{0.25} = 5.723·(t_c-293.15)^{0.25}.$$Коэффициент теплоотдачи:
$$\alpha = \frac{Nu·\lambda}{d} = \frac{5.723·(t_c-293.15)^{0.25}·0.0259}{0.055} = 2.695·(t_c-293.15)^{0.25}.$$Теплота, отданная нагревателем с помощью конвективного теплообмена при свободной конвекции:
$$Q_т = \alpha·(t_c-293.15)·\pi·d·l = 2.695·(t_c-293.15)^{0.25}·(t_c-293.15)·\pi·0.055·1.4 = 0.652·(t_c-293.15)^{1.25}.$$Тогда уравнение теплового баланса примет вид:
$$N = 0.652·(t_c-293.15)^{1.25} + 1.238·\left(\left(\frac{T_c}{100}\right)^4-74.831\right).$$Находим температуру стенки, равную $t_c = 574$ К.
