Цилиндрический электронагреватель диаметром $d = 28$ мм и длиной $l = 1.4$ м потребляет мощность $N = 11$ кВт и нагревает воду массой $G = 5.5$ кг с начальной температурой $t_в = 18$ °C. Определить: время, за которое вода нагревается до кипения; среднюю температуру поверхности кипятильника при нагреве до температуры насыщения; среднюю температуру поверхности кипятильника в режимах пузырькового кипения и пленочного кипения при ламинарном движении; время, за которое выкипит половина воды; среднюю температуру кипятильника после выкипания всей воды. Кипятильник расположен вертикально.
Время, за которое вода нагреется до температуры кипения находиться из выражения, c:
$$\tau = \frac{G·c_p·(t_н-t_в)}{N} = \frac{5.5·4.19·(100-18)}{11} = 171.$$Свойства воды берем по таблице:
| $t$, °C | $\lambda$, Вт/м·К | $\nu$, м2/с | $\beta$, K-1 | $Pr$ |
|---|---|---|---|---|
| $100$ | $0.683$ | $0.295·10^{-6}$ | $7.52·10^{-4}$ | $1.75$ |
Определим удельный тепловой поток нагревателя, Вт/м2·К:
$$q = \frac{N}{\pi·d·l} = \frac{11000}{\pi·0.028·1.4} = 8.9·10^4.$$Для определения средней температуры поверхности кипятильника при нагреве до температуры насыщения, рассчитываем число Грасгофа при вертикальном расположении нагревателя, принимая температуру нагревателя равную $t_н = 145$ °С:
$$Gr = \frac{g·\beta·(t_c - t_в)·l^3}{\nu^2} = \frac{g·7.52·10^{-4}·(145 - 100)·1.4^3}{(0.295·10^{-6})^2} = 10.1·10^{12} > 6·10^{10}.$$Число Нуссельта:
$$Nu = 0.15·(Gr·Pr)^{0.33}·\left(\frac{Pr}{Pr_c}\right)^{0.25} = 0.15·(10.1·10^{12}·1.7)^{0.33}·\left(\frac{1.7}{1.36}\right)^{0.25} = 3880.$$Коэффициент теплоотдачи, Вт/м2·К:
$$\alpha = \frac{Nu·\lambda}{l} = \frac{3880·0.683}{1.4} = 1890.$$Проверяем правильность выбранной температуры, °C:
$$t = t_в+\frac{q}{\alpha} = 100+\frac{8.9·10^4}{1890} = 147.$$Температура была выбрана верно.
Обратите внимание! Если температура не совпадает, то подставляем получившуюся температуру в число Грасгофа.
Температуру поверхности кипятильника в режиме пузырькового кипения находим из выражения:
$$\alpha = 38.7·\Delta t^{2.33}·p^{0.5}.$$Тогда уравнение Ньютона-Рихмана имеет вид:
$$q = 38.7·\Delta t^{3.33}·p^{0.5}.$$Отсюда температура стенки нагревателя равна, °C:
$$t = t_в + \left(\frac{q}{38.7·p^{0.5}}\right)^{\frac{1}{3.33}} = t_в + \left(\frac{8.9·10^4}{38.7·1^{0.5}}\right)^{\frac{1}{3.33}} = 110.$$Температуру поверхности кипятильника в режиме пленочного кипения при ламинарном движении пленки находим из уравнения Ньютона-Рихмана:
$$q = \Delta t·0.943·\sqrt[4]{\frac{r·\rho_п·(\rho_ж-\rho_п)·g·\lambda_п^3}{\mu_п·\Delta t·l}}.$$Тогда температура равна, °C:
$$t = t_в + \left(\frac{q}{0.943·\sqrt[4]{\frac{r·\rho_п·(\rho_ж-\rho_п)·g·\lambda_п^3}{\mu_п·l}}}\right)^{\frac{1}{0.75}} = $$ $$= t_в + \left(\frac{8.9·10^4}{0.943·\sqrt[4]{\frac{2.25·10^6·0.6·(1000-0.6)·g·0.025^3}{0.177·10^{-6}·1.4}}}\right)^{\frac{1}{0.75}} = 2000.$$Время, за которое выкипит половина воды находиться, c:
$$\tau = \frac{G·r}{2·N} = \frac{5.5·2.25·10^6}{2·11000} = 564.$$Свойства воздуха берем по таблице:
| $t$, °C | $\lambda$, Вт/м·К | $\nu$, м2/с | $Pr$ |
|---|---|---|---|
| $100$ | $0.0321$ | $23.13·10^{-6}$ | $0.7$ |
Для определения средней температуры поверхности кипятильника после выкипания всей воды, рассчитываем число Грасгофа при вертикальном расположении нагревателя, принимая температуру нагревателя равную $t_н = 4000$ °С:
$$Gr = \frac{g·\beta·(t_c - t_в)·l^3}{\nu^2} = \frac{g·\frac{1}{100+273.15}·(4000 - 100)·1.4^3}{(23.13·10^{-6})^2} = 0.54·10^{12} > 6·10^{10}.$$Число Нуссельта:
$$Nu = 0.15·(Gr·Pr)^{0.33} = 0.15·(0.54·10^{12}·0.7)^{0.33} = 992.$$Коэффициент теплоотдачи, Вт/м2·К:
$$\alpha = \frac{Nu·\lambda}{l} = \frac{992·3.21·10^{-2}}{1.4} = 22.8.$$Проверяем правильность выбранной температуры, °C:
$$t = t_в+\frac{q}{\alpha} = 100+\frac{8.9·10^4}{22.8} = 4030.$$Температура была выбрана верно. Если температура не совпадает, то подставляем получившуюся температуру в число Грасгофа.
