Energy
education

сайт для тех, кто хочет изучать энергетику

Контрольные задания №2. Задание 1

Тонкая квадратная пластина расположенная вертикально со стороной $l = 1$ м охлаждается потоком воздуха со скоростью $\omega = 4$ м/с и температурой $t_ж = 25$ °C. К краям пластины приложено напряжение $U = 360$ и протекает ток $I = 2$ А. Определить местные коэффициенты теплоотдачи и температуры поверхности на расстоянии $0.1·l$, $0.2·l$, $0.5·l$, $l$ от переднего края пластины, средний коэффициент теплоотдачи, тепло отводимое от пластины и построить график изменения коэффициента теплоотдачи. Решить задачу при условии свободного охлаждения.

Решение:

При описании процесса конвективного теплообмена используется уравнение теплоотдачи Ньютона-Рихмана:

$$q = \alpha·(t_c - t_ж).$$

Плотность теплового потока находиться из уравнения, Вт/м2:

$$q = \frac{I·U}{L^2} = \frac{2·360}{1^2} = 720.$$

Вынужденная конвекция.

Для определения режима течения воздуха используется число Рейнольдса:

$$Re = \frac{\omega·l}{\nu_ж}.$$

Свойства воздуха находятся из таблицы «Физические свойства сухого воздуха» при температуре воздуха:

$t$, °C $\lambda$, Вт/м·К $\nu$, м2 $Pr$
$25$ $2.59·10^{-2}$ $15.06·10^{-6}$ $0.703$

Определяем расстояние, на котором происходит изменение режима из условия:

$$Re = 10^5.$$

Тогда расстояние равно, м:

$$l_{кр} = \frac{Re·\nu_ж}{\omega} = \frac{10^5·15.06·10^{-6}}{4} = 0.388.$$

Определяем число Рейнольдса для всех случаев:

При $l = 0.1·l = 0.1$ м. Режим течения – ламинарный.

$$Re = \frac{4·0.1}{15.06·10^{-6}} = 2.576·10^4 < 10^5.$$

При $l = 0.2·l = 0.2$ м. Режим течения – ламинарный.

$$Re = \frac{4·0.2}{15.06·10^{-6}} = 5.151·10^4 < 10^5.$$

При $l = 0.5·l = 0.5$ м. Режим течения – турбулентный.

$$Re = \frac{4·0.5}{15.06·10^{-6}} = 1.288·10^5 > 10^5.$$

При $l = 1·l = 1$ м. Режим течения – турбулентный.

$$Re = \frac{4·1}{15.06·10^{-6}} = 2.576·10^5 > 10^5.$$

Для определения коэффициентов теплоотдачи, находим числа Нуссельта (поправкой Михеева для воздуха можно пренебречь):

При $l = 0.1·L$. Режим течения – ламинарный.

$$Nu = 0.33·Re^{0.5}·Pr^{0.33} = 0.33·(2.576·10^4)^{0.5}·0.703^{0.33} = 47.1.$$

При $l = 0.2·L$. Режим течения – ламинарный.

$$Nu = 0.33·Re^{0.5}·Pr^{0.33} = 0.33·(5.151·10^4)^{0.5}·0.703^{0.33} = 66.5.$$

При $l_{кр} = 0.388$. Режим течения – ламинарный.

$$Nu = 0.33·Re^{0.5}·Pr^{0.33} = 0.33·(10^5)^{0.5}·0.703^{0.33} = 92.7.$$

При $l_{кр} = 0.388$. Режим течения – турбулентный.

$$Nu = 0.0296·Re^{0.8}·Pr^{0.43} = 0.0296·(10^5)^{0.8}·0.703^{0.43} = 253.$$

При $l = 0.5·L$. Режим течения – турбулентный.

$$Nu = 0.0296·Re^{0.8}·Pr^{0.43} = 0.0296·(1.288·10^5)^{0.8}·0.703^{0.43} = 311.$$

При $l = L$. Режим течения – турбулентный.

$$Nu = 0.0296·Re^{0.8}·Pr^{0.43} = 0.0296·(2.576·10^5)^{0.8}·0.703^{0.43} = 541.$$

При $l = L$. Режим течения – турбулентный

$$\overline{Nu} = 0.037·Re^{0.8}·Pr^{0.43} = 0.037·(2.576·10^5)^{0.8}·0.703^{0.43} = 676.$$

Коэффициент теплоотдачи находиться по формуле, Вт/м2·К:

$$\alpha = \frac{Nu·\lambda_ж}{l}.$$

При $l = 0.1·L$.

$$\alpha = \frac{47.1·2.59·10^{-2}}{0.1} = 12.4.$$

При $l = 0.2·L$.

$$\alpha = \frac{66.5·2.59·10^{-2}}{0.2} = 8.75.$$

При $l_{кр} = 0.388$.

$$\alpha = \frac{92.7·2.59·10^{-2}}{0.388} = 6.18.$$

При $l_{кр} = 0.388$.

$$\alpha = \frac{253·2.59·10^{-2}}{0.388} = 16.8.$$

При $l = 0.5·L$.

$$\alpha = \frac{311·2.59·10^{-2}}{0.5} = 16.1.$$

При $l = L$.

$$\alpha = \frac{541·2.59·10^{-2}}{1} = 14.0.$$

При $l = L$.

$$\overline{\alpha} = \frac{676·2.59·10^{-2}}{1} = 17.5.$$

Температура стенки находиться по формуле, °C:

$$t_c = \frac{q}{\alpha} + t_ж.$$

При $l = 0.1·L$.

$$t_c = \frac{720}{12.4} + 25 = 83.$$

При $l = 0.2·L$.

$$t_c = \frac{720}{8.75} + 25 = 107.$$

При $l_{кр} = 0.388$.

$$t_c = \frac{720}{6.18} + 25 = 141.$$

При $l_{кр} = 0.388$.

$$t_c = \frac{720}{16.8} + 25 = 67.$$

При $l = 0.5·L$.

$$t_c = \frac{720}{16.1} + 25 = 69.$$

При $l = L$.

$$t_c = \frac{720}{14} + 25 = 76.$$

При $l = L$.

$$\overline{t_c} = \frac{720}{17.5} + 25 = 66.$$

Свободная конвекция.

Ламинарный режим заканчивается при:

$$Gr·Pr_ж = \frac{g·\beta·(t_c-t_ж)·l^3}{\nu_ж^2} = 10^9$$

и

$$q = \frac{0.6·(10^9)^{0.25}·\lambda_ж}{l}(t_c-t_ж).$$

отсюда находим расстояние до точки перехода, а также температуру стенки $l_{кр} = 0.2$ м и $t_c = 116$ °C.

Коэффициент теплоотдачи находиться по формуле:

$$\alpha = \frac{0.6·(10^9)^{0.25}·\lambda_ж}{l} = \frac{0.6·(10^9)^{0.25}·0.0269}{0.2} = 7.95.$$

Турбулентный режим начинается при:

$$Gr·Pr_ж = \frac{g·\beta·(t_c-t_ж)·l^3}{\nu_ж^2} = 6·10^{10}$$

и

$$q = \frac{0.15·(6·10^{10})^{0.33}·\lambda_ж}{l}(t_c-t_ж).$$

отсюда находим расстояние до точки перехода, а также температуру стенки $l_{кр} = 1.8$ м и $t_c = 120$ °C.

Коэффициент теплоотдачи находиться по формуле:

$$\alpha = \frac{0.15·(6·10^{10})^{0.33}·\lambda_ж}{l} = \frac{0.15·(6·10^{10})^{0.33}·0.0269}{0.2} = 7.61.$$

Ищем точки, не вошедшие в переходную зону – в данном случае это одна единственная точка $l = 0.1·L$. Для нахождения значения коэффициента теплоотдачи, запишем число Грасгофа

$$Gr = \frac{g·\beta·(t_c-t_ж)·l^3}{\nu_ж^2} = \frac{g·\frac{1}{25+273.15}·(t_c-25)·0.1^3}{(15.06·10^{-6})^2} = 14620·(t_c - 25).$$

Для определения коэффициентов теплоотдачи, находим числа Нуссельта (из условия $0.1·L < 0.2$ узнаем, что режим течения ламинарный):

$$Nu = 0.6·(Gr·Pr)^{0.25} = 0.6·(14620·(t_c - 25)·0.703)^{0.25} = 6.04·(t_c-25)^{0.25}.$$

Коэффициент теплоотдачи находиться по формуле:

$$\alpha = \frac{Nu·\lambda_ж}{l} = \frac{6.04·(t_c-25)^{0.25}·0.0259}{0.1} = 1.56·(t_c-25)^{0.25}.$$

Из уравнения Ньютона-Рихмана находим температуру стенки:

$$q = \alpha·(t_c - t_ж) = 1.56·(t_c-25)^{0.25}·(t_c - 25) = 720.$$

Тогда температура стенки равна $t_c = 70$ °C.

Коэффициент теплоотдачи находиться по формуле, Вт/м2·К:

$$\alpha = 1.56·(t_c-25)^{0.25} = 1.56·(70-25)^{0.25} = 10.$$

Пример решения в MathCAD: